🧮 进制换算——从二到三十六，每一位都写出来

进制是写法，不是值

进制是写一个值的方法，不是值本身。同一串 1011，按二是十一，按十是一千零十一；桌上那堆东西没有变， 变的只是把它记下来的方式。所以分两步走，把这两步分开就是整个设计：

1. 把你的数字读成一个确切的数。 一个数由小数点前的一串数字和点后的一串数字组成。前面那串按 第一张表里的规则变成整数——当前的总和乘以进制，再加上这一位。后面那串变成若干份中的一个计数， 每份都被进制除了那么多次，次数就是它后面的位数。两者相加，约掉公因子，就得到一个整数在另一个 整数之上。这一对才是那个数。它是完整地拿着的，外面没有定宽的盒子，所以长数字里的第二十一位和 第一位一样真。
2. 把这个对再用长除法写出来。 按五写：除，留下余数；余数乘五，再除。余数归零时展开就结束。 某个余数第二次出现时，两次之间的那些位就永远重复，长除把这一块放进方括号。表里每一个进制 都是从同一个对上做出来的，所以这些栏当真是同一个数的不同写法——这正是这张表可以拿去核对的那句话。

算术到此为止。打印之前没有任何东西被缩放、舍入或塞进六十四位里。

四张表

逐位——你的数一个一个字符来：这个字符、转换器给它的值、到此为止的总和。这是学校里最长的那道 除法公开做了一遍，也是另一个文字的数字、逗号、下划线、混进来的字母被点名而不是被悄悄忽略的地方。

每一个进制——同一个数按二到三十六写出来，每个说清四件事：那些位、它是否结束、是否循环、以及 你自己的浏览器的 Number 对同一个值打印什么。分组选择器给你四种：常见的四个、全部三十五个、只列 这个数能除尽的、只列它循环的。三十五行长数字串一次看太多，所以默认是四个。

字节——你的数的整数部分按 8、16、32、64 位铺开，大端小端各一份，按无符号读，（你要求的话）也按 有符号读。每一行把转换器自己的字节和你浏览器的 DataView 并排放。装不下的数在这里没有被拒绝：转换器 打印它的低位，因为那正是一台机器把数塞进那么小的盒子时留下东西的方式，最后一栏就是这么写的。

与你的浏览器对账——二十来行，把转换器的答案和引擎的答案并排。这是一次对账，不是给你这台机器打分： 每一行都是同一个问题问两个实现，判定栏说的是哪些答案对上了。

一个分数在哪些进制里能除尽，在哪些里不能

一个分数在某个进制里能除尽，当且仅它约简后的分母能被这个进制的幂约掉；不能就永远循环。五分之一—— 已约简，分母是五——在按五、十、十五、二十、二十五、三十、三十五写的进制里能除尽，从二到三十六里没有 别的。三分之一在按三写的进制里除尽，别的都不行。十分之一在十、二十、三十里除尽。十六分之十没什么好看 的：约简后是八分之五，而八是二的幂，所以它在按二写的进制里除尽——因为"除尽"说的是这个数，不是你 恰好怎么把它写出来。

页首那行汇总对你输入的数把这件事直说了，因为它是一个分数唯一有干净答案的问题。也正是它让十进制小数 和二进制的机器这么常地谈不拢：一个 double 是一个整数在二的某次幂之上，所以十分之一、十二分之一、 九分之四它只能近似的拿着。这不是浏览器的毛病，也不是转换器的短处。它就是"三分之一在十进制里没有最后一位" 这件事，搬到一个以二为基底的数系里。

为什么最后一列是一个数，不是一句警告

把 18446744073709551615.2 交给 Number，它答 18446744073709552000。多数页面到这里会印一句提醒。 算术去读你浏览器为那个答案留下的六十四位，把它们按 double 的真相解出来——一个整数乘以二的某次幂—— 然后相减。差算出来是 0.8，就印在那一行旁边。进制表和差分表里每一个差异都照此办理：浏览器那串位背后 的确切比例是算出来的，两个数之间的距离以十进制的一个数给出。

三条门槛值得记住，而且每一条都有一行是把它演出来而不是说出来：

• 九千零七十一万亿……——9007199254740991，一个 double 能独占着记下的最大整数，再大就有邻居来 抢同一个位置。过了它，整数开始被归到最近的那个装得下的偶数上，那一行会写出归走了多少。
• 指数。 Number.prototype.toString 带进制参数时永远不用 e，但光 toString 在大约 1e21 处就 换成指数写法。所以一行可能只在拼法上不一致，数本身是一致的。这样的行会这么说，并且先核对指数 里面那个数才这么说。
• 七分之一按三写。 确切的解永远循环；你浏览器的答案在三十七位后停了，因为 double 总会停。这两个 是不同的数，那一行把距离印出来。如果你只想知道两个引擎在哪里分手，这是最干净的一眼。

拒绝把一种意思读成另一种

规则是：你按一种意思写的数，不能被按另一种意思读走。所以浏览器引擎会猜的地方都还给你：

• 别的文字里的数字。 阿拉伯-印度数字 ١٢٣、上标二、半的商用分数记号、数学粗体数字，全都拒绝。 这是量出来的，不是假设的：Number 对每一个都答非数，所以转换器在这一点上不比跟它对账的引擎弱。
• 空着的输入框。 Number("") 是 0。表单里留空的框是一个没人写过的数，所以转换器请你写一个。
• 两个进制同时出现。 1e3 对 Number 是一千，对 parseInt 按十六是四百八十三，因为按十六 e 是一个数字。转换器要么把 e 当数字读，要么根本不读，拒绝猜你说的是哪一个。
• 前缀报的进制和框子设的不一样。 设在十六的框子里写 0b101：前缀报的是它自己的进制，转换器不在 两者之间替你决定。这里两个引擎也分开了——Number 把 0b101 读成五，parseInt 按二读那个零， 在 b 处停下，答零。
• 下划线、逗号、中间的空格、第二个小数点、单独一个正负号。 1_0 是给源代码用的分隔符，不是给 程序读的文本，BigInt 和 Number 都直接拒绝它；parseInt 靠停下来答 1。转换器也拒绝。
• 二到三十六之外的进制。 这里用的字母表里有三十六个单字符号，所以一个进制需要为小于它的每个值 准备一个数字。一比不是进位记数，而 toString 对这两个都抛 RangeError——所以进制在两个引擎跑起来 之前就被拒了。
• 六十四进制。 六十四是写字节的一种方式，不是写一个值的一种方式；那一页在 Base64 文本。
• 把小数变成字节。 一个宽度装的是整数。整数部分进字节表，小数点后面那部分进进制表，转换器说清 哪部分是哪个，而不是悄悄挑一个。

拒绝是被数下来的，不是丢掉：第三张表列出每一件被停下的东西、它改说什么、以及它出现了几次。

上限，以及为什么是这个数

一个数里一千二百位。 对两个任意精度整数做的长除法，耗时随位数的平方增长，而一千二百位以上的数 是一个要打开的文件，不是一个要读的框。

展开一个小数时点后九十个数字。 分母是 d 的分数，循环节最长是 d-1 位，所以九十个数字足以断定 “它能除尽”，也足以让人有信心地说"它在循环"。搜索停下来的地方，格子里就写它停在哪里，而不是宣称一个 它没找到的循环节。

任何一张表三百行，逐位表二十四行。剩下的算术是一样的；表宁可停下，也不把屏幕占满。

只认 ASCII 的数字和字母，这是对差分另一侧那些引擎的一个事实，不是野心不够：一个数字如果连拿来 对账的浏览器都不认，转换器宁可拒绝它，也不收下它。

没有 Unicode 名字表，浏览器侧没有任意精度，也没有浮点捷径。 不带数据文件，不调库。主张是：这里打印的每一样东西，要么是你照着表能用手重复一遍的算术，要么是你自己的浏览器的答案被原样引回来。